已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.如何证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 14:25:11
已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.如何证明
已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.
如何证明
已知AB是圆o的直径,AP是圆o的切线,A是切点,BP与圆o交于点C,若D为AP的中点,求证:直线CD是圆o的切线.如何证明
联结OD、OC,因D是AP的中点,O是圆心,所以OD是三角形APB的中位线,因此角ADO与角P相等,角PCDD等于角CDO,角OCB等于角DOC,角PCD加角DCA等于90°,所以角ODC加角DCO等于90°,所以AC与OD垂直,证毕.
如下图,连接OC、AC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠BCA=90°,∠ACP=90°. 在Rt△APC中,D为AP的中点, ∴∠DAC=∠DCA. ∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA. ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°, ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°. ∴OC⊥CD. ∴直线CD是⊙O的切线.
如下图,连接OC、AC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠BCA=90°,∠ACP=90°. 在Rt△APC中,D为AP的中点, ∴∠DAC=∠DCA. ∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA. ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°, ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°. ∴OC⊥CD. ∴直线CD是⊙O的切线.
连接OC、AC.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BCA=90°,∠ACP=90°.
在Rt△APC中,D为AP的中点,
∴∠DAC=∠DCA.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA.
∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°,
∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°.
∴OC⊥CD.
∴直线CD是⊙O的切线.
如下图,连接OC、AC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠BCA=90°,∠ACP=90°. 在Rt△APC中,D为AP的中点, ∴∠DAC=∠DCA. ∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA. ∵∠OAC+∠DAC=∠PAB=90°, ∴∠OCA+∠DCA=∠OCD=90°. ∴OC⊥CD. ∴直线CD是⊙O的切线.
证明:连接OC、AC
由AB是⊙O的直径推出AC⊥PB,得直角三角形ACP
又由D为AP的中点可知CD=AD=PD
∵OA=OC ∴∠1=∠2
∵CD=AD ∴∠3=∠4
又∵AB是⊙O的直径,AP是切线
∴∠1+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°
[评](Ⅱ)当然,此题证法不唯一,第二问也可以连接...
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证明:连接OC、AC
由AB是⊙O的直径推出AC⊥PB,得直角三角形ACP
又由D为AP的中点可知CD=AD=PD
∵OA=OC ∴∠1=∠2
∵CD=AD ∴∠3=∠4
又∵AB是⊙O的直径,AP是切线
∴∠1+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°
[评](Ⅱ)当然,此题证法不唯一,第二问也可以连接OC、AC,利用全等证明。无论何种方法证明,最终都要去“证垂直”。
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