关于数学二次函数抛物线的题附图,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/23 22:30:30
关于数学二次函数抛物线的题附图,
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没图怎么回答呢?
1、(2010•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),点P是该抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD‖y轴,交AC于点D. (1)求该抛物线的函数关系式; (2)当△ADP是直角三角形时,求点P的坐标; (3)在题(2)的结论下,若点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.考点:二次函数综合题.专题:压轴题. 分析:(1)已知了抛物线的顶点坐标,可将抛物线的解析式设为顶点式,然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中,即可求出抛物线的解析式; (2)由于PD‖y轴,所以∠ADP≠90°,若△ADP是直角三角形,可考虑两种情况: ①以点P为直角顶点,此时AP⊥DP,此时P点位于x轴上(即与B点重合),由此可求出P点的坐标; ②以点A为直角顶点,易知OA=OC,则∠OAC=45°,所以OA平分∠CAO,那么此时D、P关于x轴对称,可求出直线AC的解析式,然后设D、P的横坐标,根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标,由于两点关于x轴对称,则纵坐标互为相反数,可据此求出P点的坐标; (3)很显然当P、B重合时,不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形,所以只有(2)②的一种情况符合题意,由②知此时P、Q重合;假设存在符合条件的平行四边形,那么根据平行四边形的性质知:P、F的纵坐标互为相反数,可据此求出F点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标. (1)∵抛物线的顶点为Q(2,-1), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1, 将C(0,3)代入上式,得: 3=a(0-2)2-1,a=1; ∴y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3; (2)分两种情况: ①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合; 令y=0,得x2-4x+3=0,解得x=1,x=3; ∵点A在点B的右边, ∴B(1,0),A(3,0); ∴P1(1,0); ②当点A为△APD2的直角顶点时; ∵OA=OC,∠AOC=90°, ∴∠OAD2=45°; 当∠D2AP2=90°时,∠OAP2=45°, ∴AO平分∠D2AP2; 又∵P2D2‖y轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于x轴对称; 设直线AC的函数关系式为y=kx+b(k≠0). 将A(3,0),C(0,3)代入上式得: {3k+b=0b=3, 解得 {k=-1b=3; ∴y=-x+3; 设D2(x,-x+3),P2(x,x2-4x+3), 则有:(-x+3)+(x2-4x+3)=0, 即x2-5x+6=0; 解得x=2,x=3(舍去); ∴当x=2时,y=x2-4x+3=22-4×2+3=-1; ∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点). ∴P点坐标为P1(1,0),P2(2,-1); (3)由(2)知,当P点的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形; 当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时, 平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于F; ∵P(2,1), ∴可设F(x,1); ∴x2-4x-3=1, 解得x=2- 2,x=2+ 2; ∴符合条件的F点有两个, 即F1(2- 2,1),F2(2+ 2,1).